Числовые множества
Андрей Соловьёв
Все мы с раннего детства знакомимся с числами как таковыми. Разумеется, это самые-самые азы, то есть счёт на пальцах или, если сказать чуть более научно — натуральные числа. Пожалуй, с них мы и начнём наше путешествие в мир числовых множеств.
Сложение, вычитание, умножение, деление, степень — вот лишь некоторые из операций, с которыми мы знакомимся в вышеназванной области/множестве, так как они возникают самым естественным образом, при счёте.
Ниже приведён хороший исчерпывающий пример счёта:
Одно яблоко, два яблока, три яблока и так далее, вплоть до тех пор, пока не подсчитаем все яблоки (в данном случае их 6).
Натуральные числа начинаются с единицы. Но у моих учеником часто возникает вопрос: а является ли ноль натуральным числом? Давайте разбираться. При подсчёте мы имеем следующее: первый, второй, третий, четвёртый и т.п., то есть в такой ситуации мы не имеем нуля как натурального числа, но, конечно же, возможна и иная ситуация.
При обозначении предметов: ноль 0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета… В такой ситуации нуль уже считается натуральным числом. Такое вот разночтение. В принципе, на вопросы моих учеников я так и отвечал, мол, “зависит от ситуации” и приводил схожий пример, но при написании данной статья я нашёл один интересный факт, гласящий, что в русских источниках натуральные числа без нуля обозначаются просто , а натуральные числа с нулём — также буквой , но с какими-либо добавочными индексами. Кстати, N — общепринятое обозначения множества натуральных чисел.
Что же, думаю, пора переходить к следующему множеству, к целым числам. Такие числа получаются добавкой к натуральным нуля и отрицательных чисел, что можно представить на рисунке следующим образом:
Здесь у нас не только целые числа (кстати, они обозначаются буквой ), но и натуральные, обозначенные зелёным цветом справа от нуля. Соответственно, все числа вместе образуют ряд целых, где нуль выполняет роль некоей границы между положительной и отрицательной областями. Как мы видим, отрицательные числа выделяются знаком минус перед ними: -1, -2, -3, -4, -5 и т.п. Также именно на изучении этих множеств вводится понятие абсолютной величины, иными словами, понятие модуля: |-4|= 4,|-15|=15, то бишь модуль отрицательного числа как бы сбрасывает знак минуса, оставляя само число без него, а модуль положительного числа — есть само число.
Следующей областью чисел являются рациональные числа — Q. Сия область включает в себя дробные числа, то есть такие числа, которые могут быть представлены отношением m/n, где m — числитель, целое число, а n — знаменатель, натуральное число (n≠ 0). Помимо обычных дробей десятичные дроби также входят в подмножество рациональных чисел.
Довольно часто термины рациональное число и дробь употребляются в синонимическом смысле, то есть любая дробь является рациональным числом, но не наоборот, отнюдь не требуется, чтобы любое рациональное число было дробью, так как мы уже знаем (да и почти всегда знали), что множества чисел делятся на подмножества: натуральные числа — это подмножество целых чисел, целые числа — это подмножество рациональных чисел и так далее.
И теперь к примерам: 1⁄2, 17⁄24, 71⁄99, 2⁄3, 5⁄12… и так продолжать можно до бесконечности. Весьма интересным и малоизвестным термином является высота дроби, сумма числителя и знаменателя, но, разумеется, это работает для уже заранее сокращённой дроби (как мы знаем, сократить дробь означает найти такое число, на которое делятся и числитель — верх дроби и знаменатель — низ дроби, разделитель — дробная черта).
Все вышеописанные числовые системы можно назвать рациональными.
Следующим числовым множеством являются действительные числа, также называемые вещественными. Обозначаются буквой R. Это уже начало группы иррациональных чисел.
Что же, чем область действительных чисел отличается от области рациональных? Всё весьма просто. К действительным числам добавляются такие понятия, как: корень, бесконечные непериодические дроби и т.д. Именно к области действительных чисел относятся всеми известные экспонента (e), число пи (π), типичный пример корня — корень из двух (√2)) и т.п.
На рисунке выглядит так:
Видим, что корень из двух слегка меньше, чем полтора, экспонента приблизительно равна двум целым семи десятым, а число пи приблизительно равняется трём целым четырнадцати сотым. Всё, как и должно быть.
Так, с наиболее простыми и известными каждому человеку маломальски понимающему в математике, мы закончили. Дальше рассмотрим уже элементы высшей математики, начав с понятия комплексных чисел, C Если все предыдущие множества чисел всегда могли быть отмечены на числовой прямой, то есть формально их можно назвать одномерными, то комплексные числа уже обозначаются на числовой плоскости, то есть являются они двумерными. Обозначаются комплексные числа как z=x+iy (несмотря на знак суммы, это, казалось бы, сумма чисел, но на деле это не так, это всё одно число), где i — мнимая единица, которая, собственно, и вводит эту самую некую двумерность, i²=-1, а как мы знаем из специфики нашей работы, из-под корня всегда получается либо положительное значение, либо нуль, но не в области комплексных чисел. Смотрим на рисунок (Re — реальная часть, real, Im — мнимая часть, imaginary):
Примерами комплексных чисел могут являться любая пара значений для x и y, при условии, что x не будет равняться нулю. Когда равен нулю, то у нас просто-напросто происходит движение вдоль вертикальной оси, а не так, как было для всех предыдущих рассмотренных множеств чисел, в которых перемещения могли происходить исключительно влево или вправо. Примеры комплексных чисел: 10+5i, 98+656i, 1+i, 78+2i, 6+22i, 7i и так далее, просто подставляя значения мы можем получить бесконечно много комплексных чисел. Связанные понятия: показательная форма записи числа — e^iφ=cosφ+isinφ, тригонометрическая форма записи — z=r(cosφ+isinφ), где r=|z|, комплексно-сопряжённые числа, отличающиеся знаком перед i (показано на рисунке ниже, как и тригонометрическая форма записи). Парочка рисунков:
Рисунок комплексно-сопряжённые числа:
Рисунок тригонометрической формы записи (наглядно о том, почему тригонометрическая форма записи выглядит именно так, как было сказано выше):
Пожалуй, перейдём к заключительной части нашего пути, к так называемым кватернионам, четырёхмерным числам, обозначаемым буквой H, записываются они так: q=a+bi+cj+dk, где a,b,c,d — любые числа, при условии, что a обязательно не может быть нулём, а i,j,k — мнимые единицы, со свойством: i²=j²=k²=ijk=-1. Интересный факт, что для кватернионов не работает популярнейшее правило, гласящее: “от перестановки мест слагаемых сумма не меняется”. Ещё как меняется. Также в данном множестве не работает и сочетательный закон.
После четырёхмерных кватернионов идут восьмимерные октонионы, (обозначение — O) также известные как числа Кэли, записываемые так: =x_0+x_1 i+x_2 j+x_3 k+x_4 l+x_5 il+x_6 jl+x_7 kl, думаю, уже некоторые поняли системы: i,j,k,l,il,jl,lk — мнимые единицы, “иксы” — числа, где нулевой “икс” как обычно, не равняется нулю. Октавы (кстати, ещё одно название чисел Кэли) находят применение в специальной теории относительности, теории струн и т.д.
И последнее множество чисел — седенионы, S, шестнадцатимерные числа, представляющие собой линейную комбинацию шестнадцати элементов: 1,e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9,e_10,e_11,e_12,e_13,e_14,e_15. Не обладают седенионы почти никакими свойствами обычной математики, чему виной их катастрофически сложная структура, разве что, не вдаваясь в подробности, скажу, что для них справедливо свойство степенной альтернативности.
Таблица умножения седенионов:
В итоге, приведу вам пример, иллюстрирующий “вход” одного множества в другое и более формульный вариант записи: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C⊂H⊂O⊂S. Ну и, собственно, картинка:
Дочитавшим до этого момента мой низкий поклон. Надеюсь, что вам (как и мне во время написания данного исследования) было интересно и вы узнали что-то новое, пусть и в некоторой степени не очень полезное, и прикольное.
